5-1 에너지법 (최소일의 방법)

다음 내용은 김시범 건축구조기술사의 네이버 카페인 ‘구조엔지니어 정보교류’의 내용을 참조하였다.

1.1 개요

📌 에너지법을 사용하는 이유

• 에너지법으로 풀었을 경우의 정답율이 가장 높음
• 고전적인 방법(가상일법, 변형일치법 등)으로 20분 이상 걸리는 문제 풀이가 10분이 채 안 걸림
• 행렬법(또는 매트릭스법)으로 풀면 채점관이 점수를 짜게 준다는 얘기도 있음
• 에너지법은 거의 모든 문제에 적용 가능

📌 다들 알고 있던 해석법인데 왜 많은 사람들이 잘 사용하지 않았을까?

에너지법은 미적분이 필요하므로 예전 계산기로 적용이 어려웠지만, 근래 문자 인식이 가능한 계산기인 TI nspire CX CAS의 solve로 쉽게 적용할 수 있음.

📌 적용절차

1. 정정구조물로 만든다.
2. 정정구조물로 만들기 위해 부정정력을 미지수로 잡는다.
3. 구간별 부재력을 구한다.
4. 변형에너지를 구한다.
\[ U = \frac{1}{2EI} \int M^2 dx + \frac{1}{2EA} \int N^2 dx \]
5. 미분을 사용하여 미지수를 구한다.
1. 부정정력을 구한다. (최소일법)

보의 탄성변형에서 내력이 한 일 \( U \)을 그 지점의 반력으로 1차 편미분한 값은 0이다.

\[ \frac{dU}{dR_i} = 0, \quad (i = 1, \cdots, n) \]

구조물의 변형에너지는 안정상태일 때 최솟값을 갖는다.

2. 변형(처짐, 처짐각)을 구한다. (카스틸리아노 제2정리)
\[ \frac{dU}{dP} = \Delta \]
• 휨 변형
\[ U = \int \frac{1}{2} \frac{M M dx}{EI} = \int \frac{1}{2} \frac{M^2}{EI} dx \] \[ \Delta_i = \frac{\partial U}{\partial R_i} = \frac{\partial U}{\partial M} \frac{\partial M}{\partial R_i} = \int \frac{M}{EI} \left( \frac{\partial M}{\partial R_i} \right) dx = \int \frac{M}{EI} mdx = 0 \]

단위하중법과 동일

• 축 변형
\[ U = \sum \frac{1}{2} \frac{N N L}{EA} = \sum \frac{1}{2} \frac{N^2 L}{EA} \] \[ \Delta_i = \frac{\partial U}{\partial R_i} = \frac{\partial U}{\partial N} \frac{\partial N}{\partial R_i} = \sum N \frac{\partial N}{\partial R_i} \frac{L}{EA} = \sum N n \frac{L}{EA} = 0 \]

단위하중법과 동일

1.2 보

1.3 프레임/라멘/아치/기둥

1.4 스프링

1.5 케이블

1.6 온도

1.7 지점침하

1.8 트러스

[Tips]

• 첫째, 문제에 부재 번호를 우선 매긴다. 예: 1, 2, 3, ...
• 둘째, 평형방정식을 세울 때 부재번호에 맞춰 이름을 정한다.
• 셋째, 부재력은 무조건 인장으로 가정한다.
• 넷째, 절점법에서 나오는 부재력을 바로바로 저장(sto)한다.

1.9 합성구조 (강봉/트러스 + 보/프레임)

1.10 들뜸